题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线
经过
的三个顶点，已知点
，
，
的直角顶点C在y轴上．
如图1，点D是抛物线
第一象限内
上的一个动点．
并直接写出点C的坐标，并求抛物线的解析式；
当动点D的坐标是多少时，四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
如图2，长度为1个单位长度的线段MN在的边AB上运动，过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点．
在线段MN运动过程中，若四边形MNQP是矩形，求点M的坐标；
在线段MN运动过程中，若以C、P、Q为顶点的三角形与相似，直接写出点M的坐标．
【答案】
，
；
点D的坐标是
时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是
；
点的坐标为
；M点的坐标为或
．
【解析】
利用射影定理计算得
，则
，再设交点式
，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
作
轴交BC于E，如图1，先利用待定系数法确定直线BC的解析式为
，设
，则
，则
，利用二次函数的性质得当
时，
的最大值为
，此时
，然后计算对应的四边形ABCD的面积最大值；
易得AC的直线解析式为
，设
，则
，
，
，利用矩形性质得
，解方程求出t得到M点的坐标；
根据两点间的距离公式得到
，
，
，
，利用相似三角形的判定方法当
时，
∽
，即
；当
时，∽
，即
，然后分别解方程求出即可得到对应的M点的坐标．
，
，
，
，
，
设抛物线解析式为，
把代入得
，解得
，
抛物线解析式为
，
即；
作轴交BC于E，如图1，
设直线BC的解析式为
，
把
，代入得
，解得
，
直线BC的解析式为，
设，则，
，
，
当时，的最大值为，此时，
四边形ABCD的面积最大值
，
即动点D的坐标是时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是；
易得AC的直线解析式为，
设，则，，，
四边形MNQP是矩形，
，解得
，
点的坐标为；
，
，，，
，
当时，∽，即，解得，此时
；
当时，∽，即，解得
，此时
；
综上所述，M点的坐标为或．
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【题目】某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表所示：
购进数量 | 购进所需费用 | ||
A | B | ||
第一次 | 30 | 20 | 2200 |
第二次 | 20 | 30 | 2800 |
求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售
为满足”五一“小长假期间市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，此时最大利润是多少？
