题目内容
【题目】如图一,菱形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,且DE⊥AB.
(1)求证:△ABD是等边三角形;
(2)将图一中△ADE绕点D逆时针旋转,使得点A和点C重合,得到△CDF,连接BF,如图二,求线段BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD,进而利用菱形的性质得出AD=AB,即可得出△ABD是等边三角形;
(2)利用旋转的性质以及平行线的性质得出∠FDB=90°,再结合勾股定理得出BF的长.
(1)证明:如图一,
∵点E是AB的中点,且DE⊥AB,
∴AD=BD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∴AD=DB=AB,
∴△ABD是等边三角形;
(2)解:如图二,
由(1)得:△ABD是等边三角形,则∠ADE=∠BDE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥DC,
∵DE⊥AB,
∴∠EDC=90°,
∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90°,
∵△ADE绕点D逆时针旋转,使得点A和点C重合,得到△CDF,
∴DF=ED=,BD=2,
∴BF=.
“点睛”此题主要考查了勾股定理以及旋转的性质和等边三角形的判定、菱形的性质等知识,熟练利用已知得出AD=BD是解题关键.
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