题目内容

【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:

①2a+b=0;

②abc>0;

③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;

④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);

⑤当1<x<4时,有y2<y1

其中正确的是( )

A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.②④⑤

【答案】C

【解析】

试题分析:根据抛物线对称轴方程对①进行判断;由抛物线开口方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断;根据顶点坐标对③进行判断;根据抛物线的对称性对④进行判断;根据函数图象得当1<x<4时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断.

解:抛物线的顶点坐标A(1,3),

抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,

2a+b=0,所以①正确;

抛物线开口向下,

a<0,

b=﹣2a>0,

抛物线与y轴的交点在x轴上方,

c>0,

abc<0,所以②错误;

抛物线的顶点坐标A(1,3),

x=1时,二次函数有最大值,

方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确;

抛物线与x轴的一个交点为(4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=1,

抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),所以④错误;

抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B点(4,0)

当1<x<4时,y2<y1,所以⑤正确.

故选:C.

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