Question

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．

（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．

Answer 1

(1),6;(2)y=8?，7；（3）x="2,6," 4+2 或4-2，y=4，， 或4-2，

试题分析：（1）要求CF的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．
试题解析：（1）作FM⊥CD于M，

可证△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴MG=DH=6-2=4，CG=6,CM=2,DG=FM=2，
∴CF=
∴△FCG的面积=×6×2＝6；
（2）可证△AEH∽△DHG，
∴，即，
∴DG＝，
∴y=△FCG的面积=×(8?)×2＝8?，
∵8?＞0，x≤8，
∴1＜x≤8，
∴当x=8时，y的最大值为7．
（3）当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴ ，即 ，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y＝．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，
则 ，
解得：x=4+2 或4-2，
对应的y=4+2 或4-2．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能；
考点: 1.矩形的性质；2.相似三角形的判定与性质．