题目内容
已知,如图1,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2,连接CF.

(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时,求CF的长和△FCG的面积;
(2)如图1,设AE=x,△FCG的面积=y,求y与x之间的函数关系式与y的最大值.
(3)当△CG是直角三角形时,求x和y值.

(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时,求CF的长和△FCG的面积;
(2)如图1,设AE=x,△FCG的面积=y,求y与x之间的函数关系式与y的最大值.
(3)当△CG是直角三角形时,求x和y值.
(1)
,6;(2)y=8?
,7;(3)x="2,6," 4+2
或4-2
,y=4,
,
或4-2
,







试题分析:(1)要求CF的长和△FCG的面积,需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
(2)先证△AEH∽△DHG,然后根据比例关系,求出y与x之间的函数关系式与y的最大值;
(3)由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角,当∠GFC=90°时,E、F、C三点在一条直线上,所以△AEH∽△BCE,根据相似三角形的对应线段成比例可求出解.
试题解析:(1)作FM⊥CD于M,

可证△AEH≌△DHG≌△MGF,
∴MG=DH=6-2=4,CG=6,CM=2,DG=FM=2,
∴CF=

∴△FCG的面积=

(2)可证△AEH∽△DHG,
∴


∴DG=

∴y=△FCG的面积=



∵8?

∴1<x≤8,
∴当x=8时,y的最大值为7.
(3)当∠GFC=90°时,E、F、C三点在一条直线上,
∴△AEH∽△BCE
∴


解得:x=2或x=6.
∴y=4或y=

当∠GCF=90°时,此时F点正好落在边BC上,
则△HAE∽△GDH,
则

解得:x=4+2


对应的y=4+2


当∠CGF=90°时,C,G,H共线,所以不可能;
考点: 1.矩形的性质;2.相似三角形的判定与性质.

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