Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax²＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x²＋2x＋3。
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
，解得：。
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。
当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。
（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。

解析