题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A(3,4),C在x轴的负半轴,抛物线y=﹣(x﹣2)2+k过点A.
(1)求k的值;
(2)若把抛物线y=﹣(x﹣2)2+k沿x轴向左平移m个单位长度,使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C.试判断点B是否落在平移后的抛物线上,并说明理由.
【答案】(1)(2)当m=5时,点B在平移后的抛物线上;当m=9时,点B不在平移后的抛物线上.
【解析】
试题分析:(1)将点A的坐标代入二次函数解析式中,可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论;
(2)设AB与y轴交于点D,结合勾股定理以及菱形的性质找出点B、C的坐标,根据二次函数的解析式求出该抛物线与x轴的交点坐标,再根据平移的性质找出平移后过C点的二次函数的解析式,代入B点的坐标来验证其是否在平移后的函数图象上即可得出结论..
试题解析:(1)∵经过点A(3,4),
∴,解得:;
(2)如图所示,设AB与y轴交于点D,则AD⊥y轴,AD=3,OD=4,.
∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB=OC=5,BD=AB﹣AD=2,∴B(﹣2,4).
令y=0,得,
解得:x1=0,x2=4,
∴抛物线与x轴交点为O(0,0)和E(4,0),OE=4,
当m=OC=5时,平移后的抛物线为,
令x=﹣2得,,
∴点B在平移后的抛物线上;
当m=CE=9时,平移后的抛物线为,
令x=﹣2得,,
∴点B不在平移后的抛物线上.
综上,当m=5时,点B在平移后的抛物线上;当m=9时,点B不在平移后的抛物线上.
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