Question

【题目】一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字，继续进行下去，直到容易判断为此，如：42581去掉个位是4258，4258减去1的差是4257，4257去掉个位后是425，425减去7的差是418，418去掉个位8后是41，41减去8的差是33，显然33能被11整除，所以42581是“一心一意数”．

（1）请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；

（2）一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”（千位数字是a，十位数字是b，百位数字和个位数字都是c，0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），求的值．

Answer 1

【答案】（1）2018不是“一心一意数”；20180116是“一心一意数”；（2）=

【解析】

（1）根据题目的新概念代入，即可求．

（2）根据能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除，可得二元一次方程，可求解的值．

（1）2018去掉个位是201，208减去8的差是200，200去掉个位后是20，20减去0的差是20，20显然不能被11整除，所以2018不是“一心一意数”；

　20180116去掉个位是2018011，2018011减去6的差是2018005，2018005去掉个位后是201800，201800减去5的差是201795，201795去掉个位5后是20179，20179减去5的差是20174，20174去掉个位是2017，2017减去4的差是2013，2013去掉个位后是201，201减去3的差是198，显然198能被11整除，所以20180116是“一心一意数”；

（2）∵是祥和数，∴是66的倍数，即也是2的倍数，也是11的倍数，∴c是偶数．

∵能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除，∴a+b﹣2c=11k且0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，∴a+b﹣2c=11，0≤a+b≤18，∴c=2，则a+b=15，∴=．