Question

（2012•眉山）已知：PA、PB与⊙O相切于A点、B点，OA=1，PA=

3

，则图中阴影部分的面积是

3

-

π

3

（结果保留π）．

Answer 1

分析：连接OP，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线长定理得到PA=PB，且AP与OA垂直，PB与OB垂直，在直角三角形AOP中，由OA与PA的长，利用勾股定理求出OP的长，可得出OA为OP的一半，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得出∠APO为30°，得出∠AOP为60°，同理得到∠BOP为60°，确定出∠AOB为120°，阴影部分的面积=三角形APO的面积+三角形BPO的面积-扇形AOB的面积，分别利用三角形的与扇形的面积公式计算，即可得到阴影部分的面积．

解答：解：连接OP，如图所示，
∵PA、PB与⊙O相切于A点、B点，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，
在Rt△AOP中，OA=1，PA=

3

，
根据勾股定理得：OP=

OA2+AP2

=2，
∴OA=

1

2

OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
同理∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
则S_阴影=S_△AOP+S_△BOP-S_扇形AOB=

1

2

AP•OA+

1

2

BP•OB-

120π×12

360

=

1

2

×

3

×1+

1

2

×

3

×1-

π

3

=

3

-

π

3

．
故答案为：

3

-

π

3

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及扇形面积的计算，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．