题目内容

(2012•眉山)已知:如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=
k
x
(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB•AC=160,有下列四个结论:
①双曲线的解析式为y=
20
x
(x>0);
②E点的坐标是(4,8);
③sin∠COA=
4
5

④AC+OB=12
5
,其中正确的结论有(  )
分析:过点C作CF⊥x轴于点F,由OB•AC=160可求出菱形的面积,由A点的坐标为(10,0)可求出CF的长,由勾股定理可求出OF的长,故可得出C点坐标,对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标,用待定系数法可求出双曲线y=
k
x
(x>0)的解析式,由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标;由sin∠COA=
CF
OC
可求出∠COA的正弦值;根据A、C两点的坐标可求出AC的长,由OB•AC=160即可求出OB的长.
解答:解:过点C作CF⊥x轴于点F,
∵OB•AC=160,A点的坐标为(10,0),
∴OA•CF=
1
2
OB•AC=
1
2
×160=80,菱形OABC的边长为10,
∴CF=
80
OA
=
80
10
=8,
在Rt△OCF中,
∵OC=10,CF=8,
∴OF=
OC2-CF2
=
102-82
=6,
∴C(6,8),
∵点D时线段AC的中点,
∴D点坐标为(
10+6
2
8
2
),即(8,4),
∵双曲线y=
k
x
(x>0)经过D点,
∴4=
k
8
,即k=32,
∴双曲线的解析式为:y=
32
x
(x>0),故①错误;
∵CF=8,
∴直线CB的解析式为y=8,
y=
32
x
y=8
,解得
x=4
y=8

∴E点坐标为(4,8),故②正确;
∵CF=8,OC=10,
∴sin∠COA=
CF
OC
=
8
10
=
4
5
,故③正确;
∵A(10,0),C(6,8),
∴AC=
(10-6)2+(0-8)2
=4
5

∵OB•AC=160,
∴OB=
160
AC
=
160
4
5
=8
5

∴AC+OB=4
5
+8
5
=12
5
,故④正确.
故选C.
点评:本题考查的是反比例函数综合题,涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识,难度适中.
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