Question

（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．

解答：解：（1）令y=3x+3=0得：x=-1，
故点C的坐标为（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax²+bx+c，

c=3 9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴

3k+b=0 b=3

解得：

k=-1 b=3

∴直线AB的解析式为：y=-x+3
∵线CD∥AB
∴设直线CD的解析式为y=-x+b
∵经过点C（-1，0），
∴-（-1）+b=0
解得：b=-1，
∴直线CD的解析式为：y=-x-1，
令-x-1=-x²+2x+3，
解得：x=-1，或x=4，
将x=4代入y=-x²+2x+3=-16+2×4+3=-5，
∴点D的坐标为：（4，-5）；

（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOA+S_△PNB-S_△AOB
=

1

2

（OA+PN）•ON+

1

2

PN•BN-

1

2

OA•OB
=

1

2

（3+y）•x+

1

2

y•（3-x）-

1

2

×3×3
=

3

2

（x+y）-

9

2

，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△PAB=

3

2

（x+y）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴当x=

3

2

时，S_△PAB取得最大值．
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=

15

4

，
∴P（

3

2

，

15

4

）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（

3

2

，

15

4

），最大值为：

27

8

．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大．注意第（3）问中图形面积的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来-这是压轴题中常见的技巧，需要认真掌握．