Question

如图1，有一块30°、60°、90°的三角板所对应的点为A、B、C，斜边AB为4个单位长度，且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，记∠BAO=α．（当B点与O点重合时，记α=0°，如图2所示；当A点与O点重合时，记α=90°，如图3所示）．

（1）当α=0°时，直接写出点C的坐标______；当α=90°时，直接写出点C的坐标______；
（2）当α=60°时，直接写出点C的坐标______；
（3）请从α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意选两个角度，分别求出点C的坐标；（其中一个写出详细的求解过程，另一个直接写出答案）当α=______时，点C的坐标为______；
（4）根据前面的探索，当α为任意锐角时，你认为点C是否会落在某条线段上运动，若存在，请写出这条线段所在直线的函数表达式及自变量的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：sin15°=cos75°=，sin75°=cos15°=）

Answer 1

解：（1）；；

（2）；

（3）当α=15°时，过C作CD⊥x轴于点D，
在Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，∴．
在Rt△ACD中，，∠DAC=45°，∴．
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=15°，
∴．
∴．∴；
同理：当α=30°时，；
当α=45°时，；
当α=75°时，；

（4）．
分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．