题目内容

如图1,有一块30°、60°、90°的三角板所对应的点为A、B、C,斜边AB为4个单位长度,且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动,记∠BAO=α.(当B点与O点重合时,记α=0°,如图2所示;当A点与O点重合时,记α=90°,如图3所示).
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(1)当α=0°时,直接写出点C的坐标
 
;当α=90°时,直接写出点C的坐标
 

(2)当α=60°时,直接写出点C的坐标
 

(3)请从α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意选两个角度,分别求出点C的坐标;(其中一个写出详细的求解过程,另一个直接写出答案)当α=
 
时,点C的坐标为
 

(4)根据前面的探索,当α为任意锐角时,你认为点C是否会落在某条线段上运动,若存在,请写出这条线段所在直线的函数表达式及自变量的取值范围;若不存在,请说明理由.(参考数据:sin15°=cos75°=
6
-
2
4
,sin75°=cos15°=
6
+
2
4
分析:根据题中所给的条件,在直角三角形中解题,根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出各边的长.
解答:解:(1)(1, 
3
)
(
3
, 3)
;(2分)

(2)(2, 2
3
)
;(3分)

(3)当α=15°时,过C作CD⊥x轴于点D,
在Rt△ABC中,AB=4,∠BAC=30°,∴AC=2
3
.(4分)
在Rt△ACD中,AC=2
3
,∠DAC=45°,∴CD=DA=
6
.(5分)
在Rt△AOB中,AB=4,∠BAO=15°,
OA=4•
6
+
2
4
=
6
+
2
.(6分)
OD=OA-DA=
2
.∴C(
2
6
)
;(7分)
同理:当α=30°时,C(
3
,3)
;(9分)
当α=45°时,C(
6
+
2
2
3
2
+
6
2
)
;(9分)
当α=75°时,C(
6
+
2
2
3
2
+
6
2
)
;(9分)

(4)y=
3
x
(1≤x≤
3
)
.(11分)
点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.
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