Question

如图1，有一块30°、60°、90°的三角板所对应的点为A、B、C，斜边AB为4个单位长度，且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，记∠BAO=α．（当B点与O点重合时，记α=0°，如图2所示；当A点与O点重合时，记α=90°，如图3所示）．

（1）当α=0°时，直接写出点C的坐标

 

；当α=90°时，直接写出点C的坐标

 

；
（2）当α=60°时，直接写出点C的坐标

 

；
（3）请从α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意选两个角度，分别求出点C的坐标；（其中一个写出详细的求解过程，另一个直接写出答案）当α=

 

时，点C的坐标为

 

；
（4）根据前面的探索，当α为任意锐角时，你认为点C是否会落在某条线段上运动，若存在，请写出这条线段所在直线的函数表达式及自变量的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：sin15°=cos75°=

6 - 2

4

，sin75°=cos15°=

6 + 2

4

）

Answer 1

分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．

解答：解：（1）(1， 

3

)；(

3

， 3)；（2分）

（2）(2， 2

3

)；（3分）

（3）当α=15°时，过C作CD⊥x轴于点D，
在Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，∴AC=2

3

．（4分）
在Rt△ACD中，AC=2

3

，∠DAC=45°，∴CD=DA=

6

．（5分）
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=15°，
∴OA=4•

6 + 2

4

=

6

+

2

．（6分）
∴OD=OA-DA=

2

．∴C(

2

，

6

)；（7分）
同理：当α=30°时，C(

3

，3)；（9分）
当α=45°时，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）
当α=75°时，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）

（4）y=

3

x(1≤x≤

3

)．（11分）

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．