题目内容
【题目】如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=
．（3）OD=
．
【解析】
试题分析：（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；
试题解析：（1）如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=
OA=，∴AD=
=
，∴BC=AC=2AD= ．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．
∵△DAO∽△DBA，∴
,∴
，∴AD=
，AB=
，
∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1S3，
∵S2=ADOH，S1=S△OAC=AC﹒OH，S3=CD﹒OH，∴（AD﹒OH）2=AC﹒OH﹒CD﹒OH，
∴AD2=ACCD，
∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，
∴（）2=（﹣），
整理得x2+x﹣1=0，
解得x= 或
，
经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，
∴OD=．
