Question

23、如图，在△ABC中，用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DE、DF，判断四边形BFDE的形状，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

Answer 1

分析：（1）可根据基本作图中角平分线和线段垂直平分线的做法进行作图．
（2）根据EF是BD的垂直平分线，那么BO=OD，只要证明OE=OF（对角线互相平分的四边形是平行四边形），BE=BF（邻边相等的平行四边形是菱形）就能得出BFDE是菱形了，那么只要证明三角形BOE和BOF全等即可，这两个三角形中，都有一个直角，∠ABD=∠CBD，又有一条公共边，那么构成了全等三角形判定中的ASA的条件，两三角形全等，这样就可得出BE=BF，OE=OF，就能得出BFDE是菱形了．

解答：解：四边形BFDE为菱形．
证明：∵EF垂直平分BD，
∴∠EOB=∠BOF=90°，BO=DO，
又∵∠ABD=∠CBD，BO=BO，
∴△BEO≌△BFO（ASA）．
∴BE=BF，OE=OF．
∴四边形EBFD为平行四边形．
又∵BE=BF，
∴?EBFD为菱形．

点评：本题考查了基本作图以及菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．