题目内容
阅读下面的材料：∵ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x1=
．，x2=
．
∴x1+x2=
=-
，x1x2=
=
．
综上所述得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
，x1x2=
．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若矩形的长和宽是方程4x2-13x+3=0的两个根，则矩形的周长为
，面积为
．
（2）若2+
是x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
（3）直角三角形的斜边长是5，另两条直角边的长分别是x的方程：x2+（2m-1）x+m2+3=0的解，求m的值．
-b+
| ||
| 2a |
-b-
| ||
| 2a |
∴x1+x2=
| -2b |
| 2a |
| b |
| a |
| b2-(b2-4ac) |
| 4a2 |
| c |
| a |
综上所述得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若矩形的长和宽是方程4x2-13x+3=0的两个根，则矩形的周长为
| 13 |
| 2 |
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（2）若2+
| 3 |
（3）直角三角形的斜边长是5，另两条直角边的长分别是x的方程：x2+（2m-1）x+m2+3=0的解，求m的值．
分析：（1）根据根与系数的关系得到长与宽的和=
，长与宽的积为
，即可得到矩形周长与面积；
（2）设方程的另一根为x1，先根据两根之和的关系求出x1，然后利用两根之积的结论求出c；
（3）设两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，根据勾股定理、根与系数的关系得到关于a、b、m的方程组，消去a、b，可计算出m，然后根据判别式确定m得值．
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（2）设方程的另一根为x1，先根据两根之和的关系求出x1，然后利用两根之积的结论求出c；
（3）设两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，根据勾股定理、根与系数的关系得到关于a、b、m的方程组，消去a、b，可计算出m，然后根据判别式确定m得值．
解答：解：（1）长与宽的和=
，长与宽的积为
，
所以矩形周长为2×
=
，矩形的面积为
；
（2）设方程的另一根为x1，依题意得：
，
解得：
；
（3）设两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，依题意得：
，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2=[-（2m-1）]2=4m2-4m+1，
∴4m2-4m+1=25+2（m2+3），即m2-2m-15=0，
解得：m1=-3，m2=5，
当m=5时，a+b=-（2m+1）=-（2×5+1）=-11＜0（不合题意，舍去）
∴m的值为-3．
故答案为
，
．
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
所以矩形周长为2×
| 13 |
| 4 |
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（2）设方程的另一根为x1，依题意得：
|
解得：
|
（3）设两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，依题意得：
|
∵（a+b）2=a2+2ab+b2=[-（2m-1）]2=4m2-4m+1，
∴4m2-4m+1=25+2（m2+3），即m2-2m-15=0，
解得：m1=-3，m2=5，
当m=5时，a+b=-（2m+1）=-（2×5+1）=-11＜0（不合题意，舍去）
∴m的值为-3．
故答案为
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-
，x1•x2=
．也考查了勾股定理和一元二次方程根的判别式．
| b |
| a |
| c |
| a |
练习册系列答案
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