题目内容
（2009•台州模拟）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，
，求弦AD的长．
【答案】分析：（1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．
解答：
证明：（1）连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴
，
∴在Rt△AOM中，
，
∴弦AD的长为2．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
（2）由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．
解答：
证明：（1）连接OT；∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴
，∴在Rt△AOM中，
，∴弦AD的长为2．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
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