Question

如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

Answer 1

（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证。
（2）  

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证。
（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由⊙O过H，CH垂直于AB，得到⊙O与AB相切，由（1）得到⊙O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF∽△BCH，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值。
解：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH。
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD。
又∵OD为⊙O的半径，∴⊙O与CB相切于点E。
（2）∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3。
∴，
∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴圆O与AB相切于H点。
由（1）得⊙O与CB相切于点E，∴BE=BH=3。
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH。

∴，即，解得：。
∴。
在Rt△BEF中，，∴。
∴。