Question

已知如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，将△ABC以点B为中心，沿逆时针方向旋转α度（0°＜α＜90°），得到△BDE，点B、A、E恰好在同一条直线上，连接CE．
（1）则四边形DBCE是______形（填写：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）
（2）若AB=AC=1，BC=，请你求出四边形DBCE的面积．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
由旋转的性质可得：∠BED=∠ACB=α，DE=AC，
∴∠BED=∠ABC，
∴BC∥DE，
∵BC≠AC，
∴BC≠DE，
∴四边形DBCE是梯形；
故答案为：梯；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥BC于点H，
∵AB=AC=1，
∴BF=FC=BC=，
∴cosα=，
∴∠ABC=30°，
∴∠DBC=60°，
∵将△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转α度角（0°＜α＜90°），得到△BDE，
∴△ABC≌△DBE，
∴BD=DE=1，
∴DH=BD•sin60°=，
∴S_梯形DBCE=．
分析：（1）由等腰三角形的性质与旋转的性质，易证得∠DEB=∠ABC=α，即可得DE∥BC，又由DE=AC≠BC，可得四边形DBCE是梯形；
（2）首先过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质，易求得BF的长，然后由特殊角的三角函数值，可求得α的度数，∠DBH的度数，则可求得DH的长，继而求得四边形DBCE的面积．
点评：此题考查了梯形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．