Question

 阅读材料：如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90⁰，且点D 在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD。

解决问题：

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）。

 

Answer 1

【答案】

（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论。

（2）不成立。根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论。

（3）。

【解析】

分析：（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论。

（2）根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论。

（3）如图，连接CO、DO，仿（2）可证△BOF∽△COD，从而。

由点O是AB的中点，可得CO⊥AB，

∴。∴。

解：（1）相等。证明如下：

如图，连接CO、DO，

∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点，

∴BO=CO，CO⊥AB。∴∠BOC=90⁰。

同理，FO=DO，∠DOF=90⁰。

∴∠BOF=90⁰＋∠COF，∠COD=90⁰＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF≌△COD（SAS）。

∴BF=CD。

（2）不成立。

如图，连接CO、DO，

∵△ABC是等边三角形，∴∠CBO=60⁰。

∵点O是AB的中点，∴CO⊥AB，即∠BOC=90⁰。

∴在Rt△BOC中，。

同理，∠DOF=90⁰，。∴。

又∵∠BOF=90⁰＋∠COF，∠COD=90⁰＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF∽△COD。∴。

∴。

（3）。