Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．
（2）若AD=1，求BE的长．

Answer 1

解：（1）ED=DA，EA=EC=BE（2分）
证明：∵CE⊥BD，∴△CED是直角三角形（3分）
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30°．（4分）
∴CD=2DE．（5分）
∵CD=2DA，∴DE=DA．（6分）

（2）在Rt△ECD中，
DE=DA=1，∠BDC=60°，
∴CE=，
∴BE=（10分）
分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）利用（1）的结果ED=DA=1，在直角三角形CDE中，∠BDC=60°，ED=1，利用特殊角的三角函数值求得CE=；又有EA=EB=EC，所以BE=．
点评：本题综合考查了等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、解直角三角形．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半定理的应用．