题目内容
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，⊙O经过B，C，D三点，与AB
交于另一点E．
（1）请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段AE相等；
（2）在图中，过点E作⊙O的切线，交AD于点F；
①求证：EF2=FD•FC；
②若AF=DF，求sinA的值．
交于另一点E．（1）请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段AE相等；
（2）在图中，过点E作⊙O的切线，交AD于点F；
①求证：EF2=FD•FC；
②若AF=DF，求sinA的值．
（1）连接CE；
证明：连接DE；
∵∠ABC=90°，
∴CE是⊙O的直径；
∴∠CDE=90°；
又∵AD=CD，
∴AE=CE．
（还可以连接OD，利用中位线定理证AE等于⊙O的直径，或连接BD，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD，∠A=∠DBA，∠DBA=∠ACE）
（2）①证明：∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴
=
，即EF2=FD•FC．
②∵AF=DF，AD=CD，
∴FD=
FC，∴EF2=
FC2；
∴
=
，
∴sin∠ACE=
；
又∵EA=EC，
∴∠ACE=∠A；
∴sin∠A=
．
证明：连接DE；
∵∠ABC=90°，
∴CE是⊙O的直径；
∴∠CDE=90°；
又∵AD=CD，
∴AE=CE．
（还可以连接OD，利用中位线定理证AE等于⊙O的直径，或连接BD，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD，∠A=∠DBA，∠DBA=∠ACE）
（2）①证明：∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴
| EF |
| FD |
| FC |
| EF |
②∵AF=DF，AD=CD，
∴FD=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| EF |
| FC |
| ||
| 3 |
∴sin∠ACE=
| ||
| 3 |
又∵EA=EC，
∴∠ACE=∠A；
∴sin∠A=
| ||
| 3 |
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