Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,勾股定理

专题：

分析：（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b²-4ac≥0；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．

解答：解：（1）∵b²-4ac
=（m-3）²+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²；
又∵（m+3）²≥0，
∴b²-4ac≥0，
∴原方程有两个实数根；

（2）原方程可变为（x+m）（x-3）=0，
则方程的两根为x₁=-m，x₂=3，
∴直角三角形三边为2，3，-m；
∴m＜0，
①若-m为直角三角形的斜边时，则：
2²+3²=m²m=±

13

，
∴m=-

13

；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
2²+m²=3²m=±

5

∴m=-

5

．

点评：此题考查利用根的判别式b²-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．