Question

【题目】如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右

依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交

点为D，且点D的横坐标为﹣5．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB, 求△PBD面积的最大值．

(3)设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

【答案】（1）　　　（2）　　（3）当F坐标为(－2，)时，用时最少．

【解析】（1）首先求出A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再确定出最大值；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DFA，运动时间t=AF +DF. 如图，辅助线，将AF=DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点.

解：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，

∴直线BD解析式为：．

当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)．

∵点D(－5，)在抛物线上，

∴，∴．

∴抛物线的函数表达式为：．

(2)设P(m, )

∴

∴△BPD面积的最大值为．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t＝，

∵lBD：，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2，)

∴当F坐标为(－2，)时，用时最少．

“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的求得方法，解（1）关键是用待定系数法求出点D的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式建立函数关系式，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题.