题目内容

(2011•盘锦)如图,风车的支杆OE垂直于桌面,风车中心O到桌面的距离OE为25cm,小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动,转动过程中,叶片端点A、B、C、D在同一圆O上,已知⊙O的半径为10cm.
(1)风车在转动过程中,当∠AOE=45°时,求点A到桌面的距离(结果保留根号).
(2)在风车转动一周的过程中,求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π).
分析:(1)作A1F⊥MN于点F,A1G⊥OE于点G,在Rt△A1OG中,利用三角函数可求得OG,从而得出点A到桌面的距离A1F;
(2)作A2H⊥MN于H,则A2H=20.作A2D⊥OE于点D,则DE=A2H.在Rt△A2OD中,由特殊角的三角函数得∠A2OD=60°,由圆的轴对称性可知,∠A3OA2=2∠A2OD=120°.从而得出点A所经过的路径长.
解答:解:(1)如图(1),点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°.
作A1F⊥MN于点F,A1G⊥OE于点G,
∴A1F=GE.(1分)
在Rt△A1OG中,
∵∠A1OG=45°,OA1=10,
∴OG=OA1•cos45°=10×
2
2
=5
2
.(2分)
∵OE=25,
∴GE=OE-OG=25-5
2

∴A1F=GE=25-5
2
.(3分)
答:点A到桌面的距离是(25-5
2
)厘米.(4分)

(2)如图(2),点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时,点A到桌面的距离等于20厘米.
作A2H⊥MN于H,则A2H=20.作A2D⊥OE于点D,
∴DE=A2H.(5分)
∵OE=25,
∴OD=OE-DE=25-20=5.
在Rt△A2OD中,
∵OA2=10,
∴cos∠A2OD=
OD
OA2
=
5
10
=
1
2

∴∠A2OD=60°.(7分)
由圆的轴对称性可知,∠A3OA2=2∠A2OD=120°.
∴点A所经过的路径长为
120π×10
180
=
20π
3
.(9分)
答:点A所经过的路径长为
20π
3
厘米.(10分)
点评:本题考查了弧长的计算、勾股定理、特殊角的三角函数值以及锐角三角函数的定义,综合性较强难度偏大.
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