Question

． 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

 

                                                        

Answer 1

（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为

同样可得，反比例函数解析式为 

（2）当点Q在直线DO上运动时，

设点Q的坐标为，

于是，

而，

所以有，，解得 

所以点Q的坐标为和

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，

由勾股定理可得，

所以当即时，有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，

所以OQ有最小值2．

由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是

．