Question

【题目】如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

【解析】（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，AB=，∴AC=BC=AB=，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=，∴AP=ACcot∠APC=2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=，∠ACD=60°，∴AD=ACtan∠ACD=6，∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．