题目内容
【题目】如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（
,1－
）
【解析】解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵
，AO=BO=1，
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN， ∵∠OPC=900，
∴∠OPM+CPN=900，
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM，
∴△OPM≌△PCN.
（2）∵AM=PM=APsin450= 
，
∴NC=PM= 
，∴BN=OM=PN=1- 
；
∴BC=BN-NC=1- 
- 
= 
（3）△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时，
有BN=PN=1－
， ∴BC=PB=
PN=
-m，
∴NC=BN+BC=1－
+
-m，
由⑵知：NC=PM= 
，
∴1－
+
-m= 
， ∴m=1.
∴PM= 
=
，BN=1－
=1－
， ∴P（
,1－
）.
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（
,1－
）
