Question

（2012•北京）已知二次函数y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把x=0和x=2代入得出关于t的方程，求出t即可；
（2）把A的坐标代入抛物线，即可求出m，把A的坐标代入直线，即可求出k；
（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=-

1

2

（x-3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直线平移后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后的直线与抛物线有两个公共点，
设两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．

解答：（1）解：∵二次函数y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2时的函数值相等，
∴代入得：0+0+

3

2

=4（t+1）+4（t+2）+

3

2

，
解得：t=-

3

2

，
∴y=（-

3

2

+1）x²+2（-

3

2

+2）x+

3

2

=-

1

2

x²+x+

3

2

，
∴二次函数的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）解：把A（-3，m）代入y=-

1

2

x²+x+

3

2

得：m=-

1

2

×（-3）²-3+

3

2

=-6，
即A（-3，-6），
代入y=kx+6得：-6=-3k+6，
解得：k=4，
即m=-6，k=4．

（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x²-2x-3）=-

1

2

（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，
则方程4x+6+n=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，
即-

1

2

x²-（n+3）x-

1

2

n²-

9

2

=0有两个相等的实数解，
判别式△=[-（n+3）]²-4×（-

1

2

）×（-

1

2

n²-

9

2

）=6n=0，
即n=0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），
则0=4（-n-1）+6+n，
n=

2

3

，
0=4（3-n）+6+n，
n=6，
即n的取值范围是：

2

3

≤n≤6．

点评：本题考查了二次函数和一次函数的性质，平移的性质，根的判别式等知识点的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．