题目内容
（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=
| 2 | 3 |
分析：（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=
，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=
| 2 |
| 3 |
解答：证明：（1）连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COF=∠BOF，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴
=
=
又∵sin∠ABC=
，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=
，即
=
，
∴OH=4，
∴DH=
=2
，
又∵△ADH∽△AFB，
∴
=
，
=
，
∴FB=
．
∵OD⊥BC，
∴∠COF=∠BOF，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵
|
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴
| OD |
| OB |
| OH |
| OD |
| DH |
| BD |
又∵sin∠ABC=
| 2 |
| 3 |
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=
| 2 |
| 3 |
| OH |
| OD |
| 2 |
| 3 |
∴OH=4，
∴DH=
| OD2-OH2 |
| 5 |
又∵△ADH∽△AFB，
∴
| AH |
| AB |
| DH |
| FB |
| 13 |
| 18 |
2
| ||
| FB |
∴FB=
36
| ||
| 13 |
点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．
练习册系列答案
相关题目
（2012•北京）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．
（2012•北京）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+