题目内容

(2013•黄石)如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=
k
x
(k≠0)的图象交于二、四象限的A、B两点,与x轴交于C点.已知A(-2,m),B(n,-2),tan∠BOC=
2
5
,则此一次函数的解析式为
y=-x+3
y=-x+3
分析:过点B作BD⊥x轴,在直角三角形BOD中,根据已知的三角函数值求出OD的长,得到点B的坐标,把点B的坐标代入反比例函数的解析式中,求出反比例函数的解析式,然后把点A的横坐标代入反比例函数的解析式中求出点A的坐标,最后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式,求出a和b的值即可得到一次函数解析式.
解答:解:过点B作BD⊥x轴,
在Rt△BOD中,∵tan∠BOC=
BD
OD
=
2
OD
=
2
5

∴OD=5,
则点B的坐标为(5,-2),
把点B的坐标为(5,-2)代入反比例函数y=
k
x
(k≠0)中,
则-2=
k
5
,即k=-10,
∴反比例函数的解析式为y=-
10
x

把A(-2,m)代入y=-
10
x
中,m=5,
∴A的坐标为(-2,5),
把A(-2,5)和B(5,-2)代入一次函数y=ax+b(a≠0)中,
得:
-2a+b=5
5a+b=-2
,解得
a=-1
b=3

则一次函数的解析式为y=-x+3.
故答案为:y=-x+3.
点评:此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题,以及三角函数值,用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种解题方法.同学们要熟练掌握这种方法.
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