题目内容

(2013•镇江模拟)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)如图,若A点恰好是抛物线的顶点,请写出它的对称轴和t的值.
(2)若t=-4,求a、b的值,并指出此时抛物线的开口方向.
(3)若抛物线y=ax2+bx的开口向下,请直接写出t的取值范围.
分析:(1)根据函数图象可直接得到对称轴方程,利用抛物线的对称性可得到P点坐标,即得到t的值;
(2)利用待定系数法确定a、b的值,然后根据二次函数的性质确定抛物线开口方向;
(3)由于抛物线y=ax2+bx的开口向下,且过点A(-3,-3),则点P一定在点(-3,0)右侧,于是可得到t的范围.
解答:解:(1)根据函数图象得抛物线的对称轴为直线x=-3,
则抛物线与x轴的交点坐标为(-6,0),(0,0),
所以t=-6;

(2)把A(-3,-3)和P(-4,0)代入y=ax2+bx得
9a-3b=-3
16a-4b=0

解得
a=1
b=4

所以抛物线的解析式为y=x2+4x,
因为a=1>0,
所以抛物线开口向上;

(3)t>-3且t≠0.
将A(-3,-3)和点P(t,0)代入y=ax2+bx得,
9a-3b=-3①
at2+bt=0②
,由①得b=3a+1
把b=3a+1代入②得at2+t(3a+1)=0,
∵t≠0,
∴at+3a+1=0,
∴a=
-1
t+3

∵抛物线开口向下,
∴a<0,
-1
t+3
<0,
∴t+3>0,
∴t>-3
∴t>-3且t≠0
点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-
b
2a
;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
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