Question

在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

Answer 1

解：（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，
如图，连接OD，则CD⊥AB，

又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2。
在△AND与△CDM中，，
∴△AND≌△CDM（ASA）。∴DM=DN。
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3。
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5。
在△NED与△DFM中，，
∴△NED≌△DFM（ASA）。∴NE=DF。
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE。∴AE=DF。
（2）①答：AE=DF。证明如下：
由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，∴，即MF•EN=DE•DF。
同理△AEN∽△MFB，∴，即MF•EN=AE•BF。
∴DE•DF=AE•BF。∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF）。
∴AD•DF=AE•BD。∴AE=DF。
②答：DF=kAE。证明如下：
由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）。∴AD•DF=AE•BD。
∵BD=kAD，∴DF=kAE。

解析试题分析：（1）如图，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF。
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立。
②若BD=kAD，证明思路与①类似。