题目内容

如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.

(1)如图①,当时,求的值;
(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;
(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

解:(1)∵,∴
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC。∴△CEF∽△ADF。
。∴。∴
(2)证明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF。
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD。
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,∴∠ADF=∠AFD。∴AD=AF。
在Rt△AOD中,根据勾股定理得:,∴AF=OA。
(3)证明:连接OE,

∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点,
∴点O是BD的中点。
又∵点E是BC的中点,∴OE是△BCD的中位线。
∴OE∥CD,OE=CD。∴△OFE∽△CFD。
。∴
又∵FG⊥BC,CD⊥BC,∴FG∥CD。∴△EGF∽△ECD。∴
在Rt△FGC中,∵∠GCF=45°,∴CG=GF。
又∵CD=BC,∴。∴。∴CG=BG。

解析试题分析:(1)利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值,依据△CEF和△CDF同高,则面积的比就是EF与DF的比值,据此即可求解。
(2)利用角之间的关系到证得∠ADF=∠AFD,可以证得AD=AF,在Rt△AOD中,利用勾股定理可以证得。
(3)连接OE,易证OE是△BCD的中位线,然后根据△FGC是等腰直角三角形,易证△EGF∽△ECD,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得。 

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