Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

(1)见解析；（2）y=﹣x+4．
（2）①当BP=1，MQ=或BP=3，符合条件的平行四边形的个数有4个．②△PQC是直角三角形．

解析试题分析：（1）要证梯形ABCD是等腰梯形，只需证△AMB≌△DMC．
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP与CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式．
（3）先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出△PQC的形状．
试题解析：
（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BPM∽△CQP．
∴．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4﹣x，QC=4﹣y．
∴．
∴y=﹣x+4．（8分）

（3）①当BP=1时，则有BPAM，BPMD，
则四边形ABPM为平行四边形，
∴MQ=y=×3²﹣3+4=．（8分）
当BP=3时，则有PCAM，PCMD，
则四边形MPCD为平行四边形，
∴MQ=y=×1²﹣1+4=．（9分）
∴当BP=1，MQ=或BP=3，MQ=时，
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．
故符合条件的平行四边形的个数有4个．
②△PQC为直角三角形．
∵y=（x﹣2）²+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．
考点：1.等腰梯形的判定；2.二次函数的最值；3.等边三角形的性质．