题目内容
【题目】如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时,到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【答案】(1)拱顶D到地面OA的距离为10m;(2)这辆货车能安全通过;(3)两排灯的水平距离最小是4m.
【解析】试题分析:(1)先确定B点和C点坐标,然后利用待定系数法求出抛物线解析式,再利用配方法确定顶点D的坐标,从而得到点D到地面OA的距离;
(2)由于抛物线的对称轴为直线x=6,而隧道内设双向行车道,车宽为4m,则货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),然后计算自变量为2或10的函数值,再把函数值与6进行大小比较即可判断;
(3)抛物线开口向下,函数值越大,对称点之间的距离越小,于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值.
解:(1)根据题意得B(0,4),C(3,),
把B(0,4),C(3,)代入y=﹣x2+bx+c得,
解得.
所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4,
则y=﹣(x﹣6)2+10,
所以D(6,10),
所以拱顶D到地面OA的距离为10m;
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),
当x=2或x=10时,y=>6,
所以这辆货车能安全通过;
(3)令y=8,则﹣(x﹣6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6﹣2,
则x1﹣x2=4,
所以两排灯的水平距离最小是4m.