Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E，AD⊥EC于D且交⊙O于F．
（1）若EC=4，EB=2，求线段CD和DF的长度；
（2）求证：AD+DF=AB．

Answer 1

（1）解：∵EC是⊙O的切线，
∴EC²=EB•AE，
∴AE=8，
∵AD⊥EC，EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠EDA=90°
∴△ECO∽△EDA，
∴，
∴AD=，
在Rt△ADE中，ED²=AE²-AD²=，
∴CD=ED-EC=-4=，
∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度），AD⊥ED，
∴BF∥ED，
∴△ABF∽△AED，
∴=，
将AB=6，AD=，AE=8，代入得AF=
∴DF=AD-AF=-=；


（2）证明：连接OC，BF，两直线的交点为N
∵AD⊥EC，OC⊥ED，
∴△BNO∽△BFA，
∴=，∴AF=2ON，
∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度），
∴四边形NCDF是个长方形，
∴DF=CN，
AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，
∵OC是半径，AB是直径，
∴AD+DF=AB．
分析：（1）根据切割线定理求得AE，再利用△ECO∽△EDA求出AD，再利用勾股定理求出ED，然后用ED-EC即可求出CD的长．
关于DF的求法：先利用∠BFA=90°（直径所对的圆周角=90度）和AD⊥ED，求证△ABF∽△AED，再利用其对应边成比例求得AF，那么DF=AD-AF，即可得出答案．
（2）连接OC，BF 两直线的交点为N，求证△BNO∽△BFA，求证四边形NCDF是个长方形，然后AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，第（2）题中连接OC，BF 两直线的交点为N，这是证明此题的突破点，此题属于中档题．