Question

19、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer 1

分析：（1）连接AD，OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得DF⊥OD，故得到证明；
（2）根据题意，△ABC是等边三角形，可得BG是AC的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得△ACG是等边三角形，故∠AGC=60°．

解答：证明：（1）连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．（2分）
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC．
∵AO=BO，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，（4分）
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．（5分）

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC．（7分）
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等边三角形．
∴∠AGC=60°．（9分）

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及角度的大小的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．