Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．
（1）求⊙M的半径．
（2）求线段AC的长．
（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

Answer 1

（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB长是x²-mx+12=0的两根
∴OA•OB=12∴OB=3故B（0，3）（2分）
∵OB为直径
∴半径MB=

3

2

（4分）

（2）连接OC
∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC（5分）
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=

42+32

=5（6分）
∴OC•5=3•4
∴OC=

12

5

（7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

（8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO（9分）
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO（10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC（11分）
∴CD是⊙M的切线（12分）
（注：由于解法不一，可以视方法的异同与合理性分步计分）