Question

青海省玉树县发生强烈地震，某工厂计划连夜为灾区生产A，B两种特殊型号的学生桌椅（如图）500套，以解决1150名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.6m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.8m³，工厂现有库存木料331m³．
（1）求生产A，B两种型号的学生桌椅有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅尽快运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为60元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为80元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）
（3）按照（2）的方案计算，还有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得

0.6+0.8(500-x)≤331 2x+3(500-x)≥1150

（2分）
解得345≤x≤350（4分）
因为x是整数，所以有6种生产方案．（5分）

（2）y=（60+2）x+（80+4）（500-x）=-22x+42000（8分）
∵-22＜0，y随x的增大而减少．
∴当x=350时，y有最小值．（10分）
∴当生产A型桌椅350套、B型桌椅150套时，总费用最少．
此时最少费用为-22×350+42000=34300（元）（12分）

（3）∵生产A型桌椅350套、B型桌椅150套，
∴剩余木料=331-350×0.6-150×0.8=1（m³）
∴剩余木料还可以做一套B型桌椅，
故有剩余木料，最多还可以解决3名同学的桌椅问题．（14分）