题目内容

反比例函数y= $数学公式$ （k＞1）和y= $数学公式$ 在第一象限内的图象如图所示，点P在y= $数学公式$ 的图象上，PC⊥x轴于C，交y= $数学公式$ 的图象于A，PD⊥y轴于D，交y= $数学公式$ 的图象于B，当点P在反比例函数y= $数学公式$ 上运动时，以下结论①S_△ODB= $数学公式$ ；②四边形PAOB的面积始终不变；③PA=PB；④ $数学公式$ = $数学公式$ ；其中一定正确的是

A.
①②③
B.
①③④
C.
①②④
D.
①②

C
分析：设P（m，n），则mn=k，根据A、B两点在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，且A点横坐标与P点横坐标相等，B点纵坐标与P点纵坐标相等，表示A、B两点的坐标，再对每个结论逐一判断．
解答：设P（m，n），则mn=k，
∵A、B两点在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，
∴A（m， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，n），
∴①S_△ODB= $\text{[math]}$ DB×OD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×n= $\text{[math]}$ ，结论正确；
②S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=mn- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =k-1（定值），结论正确；
③PA=n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，PB=m- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，PA≠PB，结论错误；
④ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结论正确．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是设P点坐标，利用点与点的坐标关系，反比例函数的性质表示相关线段的长，对每一个结论进行判断．