题目内容

【题目】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

【答案】
(1)AH=AB
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.

∵ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,

在Rt△AEB和Rt△AND中,

∴Rt△AEB≌Rt△AND,

∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,

∴∠EAM=∠NAM=45°,

在△AEM和△ANM中,

∴△AEM≌△ANM.

∴SAEM=SANM,EM=MN,

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,

∴AB=AH.


(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,

∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,

由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,

在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2

∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2(6分)

解得x1=6,x2=﹣1.(不符合题意,舍去)

∴AH=6.


【解析】解:(1)如图①AH=AB. (1)由三角形全等可以证明AH=AB,(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.

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