Question

【题目】如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为（1，3）．矩形O′A′BC′是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的．O′点恰好在x轴的正半轴上，O′C′交AB于点D．

（1）求点O′的坐标，并判断△O′DB的形状（要说明理由）
（2）求边C′O′所在直线的解析式．
（3）延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，

∵四边形OABC是矩形，

∴BA⊥OA，

∴AO=AO′，

∵B点的坐标为（1，3），

∴OA=1，

∴AO′=1，

∴点O′的坐标是（2，0），

△O′DB为等腰三角形，

理由如下：在△BC′D与△O′AD中，

，

∴△BC′D≌△O′AD（AAS），

∴BD=O′D，

∴△O′DB是等腰三角形

（2）

解：设点D的坐标为（1，a），则AD=a，

∵点B的坐标是（1，3），

∴O′D=3﹣a，

在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，

∴a2+12=（3﹣a）2，

解得a= ，

∴点D的坐标为（1， ），

设直线C′O′的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴边C′O′所在直线的解析式：y=﹣ x+

（3）

解：∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，

∴△AOM是等腰直角三角形，

①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，

∴PA=AM=1，点P与点O′重合，

∴点P的坐标是（2，0），

②PO是另一直角边，∠POA=45°，则PO所在的直线为y=x，

∴ ，

解得 ，

∴点P的坐标为P（2，0）或（ ， ）．

【解析】（1）连接OB，O′B，根据旋转的性质可得OB=O′B，再根据矩形的性质BA⊥OA，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AO=AO′，然后根据点B的坐标求出AO的长度，再得到AO′的长度，点O′的坐标即可得到；利用角角边证明△BC′D与△O′AD全等，然后根据全等三角形对应边相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；（2）设点D的坐标是（1，a），表示出O′D的长度，然后利用勾股定理列式求出a的值，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法列式即可求出直线C′O′的解析式；（3）根据AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角边，∠PMA=45°，②PO是另一直角边，∠POA=45°两种情况列式进行计算即可得解．
【考点精析】掌握全等三角形的性质和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．