题目内容

如图，已知函数 $数学公式$ 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数 $数学公式$ 的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．

解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ；
∴一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点．
∴ $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的解析式是y=-2x+8；

（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象的解析式是：y=-2（x+a）+8．
根据题意，得 $\text{[math]}$ ，
∴x²+（a-4）x+3=0；
∴这个新图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象只有一个交点，
∴△=（a-4）²-12=0，
解得，a=4±2 $\text{[math]}$ ；
①当a=4-2 $\text{[math]}$ 时，
解方程组，得
$\text{[math]}$ ，
∴M（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）；
②当a=4+2 $\text{[math]}$ 时，
解方程组，得
$\text{[math]}$
∴M（- $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ）．
∵M点在第一象限，故x＞0，
x=- $\text{[math]}$ 不符合题意，舍去，
综上所述，a=4-2 $\text{[math]}$ ，M（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将点A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得a值．最后将a值代入其中，求得M的坐标即可．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．