题目内容

23、如图,已知线段AB与直线CD交于点B.

(1)若点P是CD上离点A最近的点,请你用尺规作出点P和以AP为直径的⊙O(允许用三角尺作垂线;不写作法,保留作图痕迹);
(2)若⊙O交AB于点E,F是PB的中点,试利用你作出的图证明EF与⊙O相切.
分析:(1)先得出点P,过点A作直线CD的垂线,垂足为P,再作出线段AP的垂直平分线,找出AP的中点O,然后以O为圆心,OA长为半径画圆即可;
(2)连接OE,PE,由OE=OP,则∠OPE=∠OEP,由圆周角定理,得∠PEB=90°再根据F为PB的中点,可得出EF=PF=BF,∠EPF=PEF从而得出∠OEF=90°,即EF是⊙O的切线.
解答:解:(1)如图

(2)连接OE,PE
∵OE=OP,
∴∠OPE=∠OEP,
∵AP为直径,
∴∠AEP=90°,
∴∠PEB=90°,
∵F为PB的中点,
∴EF=PF=BF,
∴∠EPF=∠PEF,
∵∠OPE+∠EPF=90°,
∴∠OEP+∠PEF=90°,
∴∠OEF=90°,
∴EF是⊙O的切线.
点评:本题考查了基本作图以及切线的判定,是基础知识要熟练掌握.
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