题目内容
【题目】如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1 ， 绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）． 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 
和 
，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 
？
【答案】解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧， ∴顶点O在此过程中经过的路程为： 
2+ 
=（1+ 
）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
×2+ 
+2×V×1=1+π．
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为： 3+ =（ 
+ ）π，
②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵ 2+ =（1+ ）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴ 
=20（1+ ）π+ 
，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
【解析】①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出 
=20（1+ 
）π+ 
，即可得出旋转次数．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和正方形的性质的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．
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