Question

阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？
问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

Answer 1

分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：

2

：

3

与AC：AE：CE=

3

：

2

：1去分析，即可求得结果．

解答：解：（1）设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴正确；

（2）∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=

2

a，c=

3

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

；

（3）①∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，
利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：

2

：

3

或AC：AE：CE=

3

：

2

：1，
当AC：AE：CE=1：

2

：

3

时，AC：CE=1：

3

，即AC：CB=1：

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=75°，
当AC：AE：CE=

3

：

2

：1时，AC：CE=

3

：1，即AC：CB=

3

：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=105°，
∴∠DBC=105°或∠DBC=75°．

点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．