题目内容

先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，请分别在图1和图2中求出点B和点C的坐标．
（备选数据：sin30°= $数学公式$ ，cos30°= $数学公式$ ）

解：在图1中，B（4，0）、C（4，3）；

在图2中，分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，过B作BG⊥CF于G，则有在Rt△ABE中，OE=ABcos30°=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，BE=ABsin30°=4× $\text{[math]}$ =2，
∴B（2 $\text{[math]}$ ，2）．
设AB与CF交于点H，
则由∠ABC=∠AFH，∠AHF=∠CHB，得∠BCG=∠BAE=30°，
在Rt△BGC中，BG=BCsin30°=3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴OF=OE-FE=OE-BG=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
CF=CG+GF=CG+BE= $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ ，
∴C点的坐标是：（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：在图2中分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，过B作BG⊥CF于G，则有在Rt△ABE中，利用三角函数即可求得BE与OE的长面积可确定B的坐标，在直角△BCG中，利用三角函数即可求得CG，BG的长，即可求得C的坐标．
点评：本题主要考查了坐标的确定，以及三角函数，求点的坐标的问题最基本的方法是作坐标轴的垂线，转化为求线段的长的问题．