题目内容

根据条件求值：
①设a=2-
3
，求a2+
1
a2
-2的值．
②设a2+b2-4a-2b+5=0，求
a
+
b
3
a
-2
b
的值．
③已知：
a
+
b
=
3
+
2
，
ab
=
6
-
3
，求a+b的值．
④已知
25-x2
-
15-x2
=2，求
25-x2
+
15-x2
的值．
分析：①中，显然运用完全平方公式，再代入计算；
②中，首先由配方法确定a和b的值，再代入计算；
③中，注意运用完全平方公式解决．a+b=（
a
+
b
）2-2
ab
；
④中，注意运用平方差公式．
解答：解：①∵a=2-
3
，∴a2+
1
a2
-2=（a-
1
a
）2=（2-
3
-
1
2-
3
）2=（2-
3
-2-
3
）2=12；
②∵a2+b2-4a-2b+5=0，
∴（a-2）2+（b-1）2=0
∴a=2，b=1，
∴原式=
2
+1
3
2
-2
=
8+5
2
14
；
③∵
a
+
b
=
3
+
2
，
ab
=
6
-
3
，
∴a+b=（
a
+
b
）2-2
ab
=（
3
+
2
）2-2
6
+2
3
=5+2
3
；
④∵（
25-x2
+
15-x2
）（
25-x2
-
15-x2
）=25-x2-15+x2=10，
又知
25-x2
-
15-x2
=2，
∴
25-x2
+
15-x2
=10÷2=5．
点评：此题中，要求对完全平方公式和平方差公式的变形非常熟悉．同时注意二次根式的一些性质：当a≥0时，a=(
a
)2．
练习册系列答案
相关题目
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
3
2
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
5
2
=0．∴ab=2c2+c+
5
4
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
5
4
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
5
4
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
9
4
=0．∴t1=t2=
3
2
，即a=b=
3
2
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t．①
∵a2+b2+6c+
3
2
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2(
1-2c
2
+t)(
1-2c
2
-t)+6c+
3
2
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
3
2
，b=
3
2
．a=b=
3
2
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
m
2
+t，y=
m
2
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．

根据条件求值：
①设a=2-数学公式，求a2+数学公式-2的值．
②设a2+b2-4a-2b+5=0，求数学公式的值．
③已知：数学公式+数学公式=数学公式+数学公式，数学公式=数学公式-数学公式，求a+b的值．
④已知数学公式-数学公式=2，求数学公式+数学公式的值．
根据条件求值：
①设a=2-
3
，求a2+
1
a2
-2的值．
②设a2+b2-4a-2b+5=0，求
a
+
b
3
a
-2
b
的值．
③已知：
a
+
b
=
3
+
2
，
ab
=
6
-
3
，求a+b的值．
④已知
25-x2
-
15-x2
=2，求
25-x2
+
15-x2
的值．
根据条件求值：
①设a=2-，求a2+-2的值．
②设a2+b2-4a-2b+5=0，求的值．
③已知：+=+，=-，求a+b的值．
④已知-=2，求+的值．

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