Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，AB=4

2

，BC=3，F是DC上一点，且CF=

2

，E，是线段AB上一动点，将射线EF绕点E顺时针旋转45°交BC边于点G．
（1）直接写出线段AD和CD的长；
（2）设AE=x，当x为何值时△BEG是等腰三角形；
（3）当△BEG是等腰三角形时，将△BEG沿EG折叠，得到△B′EG，求△B′EG与五边形AEGCD重叠部分的面积．

Answer 1

分析：（1）过点C作CK⊥AB于K，易证四边形AKCD是矩形，根据等腰直角三角形的性质和45°角的正弦值计算即可；
（2）当△BEG为等腰三角形时，有三种情况，分别是当GE=GB时、当BE=BG时、当EG=EB时要分别讨论求出符合题意的x值即可；
（3）由（2）可知三种情况的x值，再有_重叠=S_梯形EBCF-S_△BEG和S_重叠=S_△BEG分别计算求出△B’EG与五边形AEGCD重叠部分的面积为

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

解答：解：（1）过点C作CK⊥AB于K，（如图1）
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴四边形AKCD是矩形，
∴DC=AK，AD=CK，
∵∠B=45°，BC=3，
∴CK=BK，
∴sinB=

CK

BC

=

2

2

，
∴CK=BK=

3 2

2

，
∴AD=

3 2

2

，
∵CD=AK=AB-BK=4

2

-

3 2

2

，
∴CD=

5 2

2

；
（2）当△BEG为等腰三角形时，有三种情况，
①当GE=GB时，∠GEB=∠B=45°，
∵∠FEG=45°，
∴∠FEB=∠FEG+∠BEG=45°+45°=90°，
∴∠AEF=90°，
∵∠A=∠D=90°，
易证四边形AEFD为矩形，
∴AE=DF=CD-CF=

5 2

2

-

2

=

3 2

2

，
②当BE=BG时，连接AF，
∵AD=DF=

3 2

2

，
∴∠DAF=∠DAF=45°，
∴∠FAE=90°-45°=45°，
∵∠B=45°，
∴∠B=∠FAE，
∵∠FEG=45°，
∴∠AEF+∠BEG=135°，
又∵∠BEG+∠BGE=135°，
∴∠AEF=∠BGE，
∴△AEF∽△BGE，
∴

AE

BG

=

AF

BE

，
当BE=BG时，则AE=AF=3，
③当EG=EB时，
∴∠EGB=∠B=45°，
∴∠GEB=90°，
∵∠FEG=45°，
∴∠FEB=90°+45°=135°，
∴∠FEB+∠B=180°，
∴FE∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形CBEF是平行四边形，
∴BE=CF=

2

，
∴AE=AB-BE=4

2

-

2

=3

2

，
综上：当x=

3 2

2

或3或3

2

时，△BEG为等腰三角形；
（3）①当GE=GB时（如图2），
S_重叠=S_梯形EBCF-S_△BEG
=

1

2

×(

2

+

5 2

2

)×

3 2

2

-

1

2

×

5

2

×

5

2

=

17

8

，
②当BE=BG时（如图3），
S_重叠=S_△BEG
过点G，作GH⊥AB，垂足为H，
由（2）知：BG=BE=4

2

-3，
易求得GH=

2

2

BG=

2

2

（4

2

-3）=4-

3 2

2

，
∴S_重叠=

1

2

×(4

2

-3)(4-

3 2

2

)=

41 2 -48

4

，
③当EG=EB时，②当EF=AE时，如图（4），此时△B′EG与五边形AEGCD重叠部分面积为△B′EG面积．
∠FEG=∠GEB=45°，EF∥BC，又CF∥BE，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴BE=CE=

2

，
∴S_重叠=

1

2

×（

2

）²=1，
综上所述，△B’EG与五边形AEGCD重叠部分的面积为

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

点评：本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性极强，对学生解题的能力要求很高，解题的关键是对特殊几何图形的性质和判定要熟烂于心和对分类讨论数学思想的灵活运用．