Question

在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某同学完成了以下部分记录单：
记录单                                      （单位：cm）

	第一次	第二次	第三次
图形 R=5 r=3
AB	2.50	3.00	3.50
AC	6.40	5.33	4.57
AB•AC

（1）请用计算器计算AB•AC的值，并填入上表的相应位置；
（2）对半径分别为R、r的两个同心圆，猜测AB•AC与R、r的关系式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用计算器进行准确计算；
（2）首先根据（1）中计算的数值，可以猜想AB•AC=R²-r²，然后进一步运用相似三角形的性质进行证明．

解答：解：（1）AB•AC=2.5×6.4=16；
AB•AC=3.00×5.33=15.99；
AB•AC=15.995；

（2）因为R²-r²=16，所以AB•AC=R²-r²．证明如下：
过点O作直线AE，交小圆与D，E，连接BD、CE．
∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，
∴△ABD∽△AEC．
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
即AB•AC=AD•AE=（R+r）（R-r）=R²-r²．

点评：此题考查了学生数学中的猜想探究能力，能够熟练运用相似三角形的判定和性质进行证明．